Метод математической индукции

Метод математической индукции называется так потому, что доказательство сложных формул, теорем или произвольных утверждений по данному методу основано на поэтапном выводе этих формул и теорем из простейших случаев этих же формул и теорем путем пошаговой, последовательной их проверки для всех предыдущих случаев. Именно так мы доказывали формулу бинома ньютона. Метод математической индукции - мощный универсальный метод, применяемый во всех разделах теоретической и прикладной математики для доказательства различных основополагающих и вспомогательных утверждений. Метод индукции применяется и в линейной алгебре, и в комбинаторике, и в теории чисел, и в математическом анализе, в математической логике и теории множеств и многих других серьезных и сложных разделах математики.

Метод математической индукции применяется при решении определителей, при работе с системами линейных уравнений и матрицами, но в основном в теории. Также метод индукции лежит в основе доказательства основополагающих неравенств, используемых для вычисления основных пределов и сложных определенных интегралов.

В чем заключается метод математической индукции?


Допустим у нас имеется некоторое утверждение A(n) (или, что тоже самое: формула, теорема), которое зависит от некоторого целого положительного числа n. Справедливасть этого утверждния нужно устнановить, другими словами, необходимо доказать это утверждение для любого значения n.
Для одних значений n это утверждение может быть справедливо, а для других n - не справедливо. Мы не знаем справедливо A(n), или нет ни при каком значении n.

Мы будем писать A(n)=true, если A(n) - справедливо. true по английски - истина! Утверждение A(n) может быть равентсвом, неравенством, отношением делимости, или любым другим утверждением.
Основная хитрость метода математической индукции заключается в том, что как правило для n=1 утверждение A(n) справедливо и его спрведливость легко проверяется, то есть легко установить, что A(1)=true.
Далее, на основе доказанного утвержнения A(1) можно установить, что справедливо A(2), на основе A(2) легко устнавливается справедливость A(3) и т. д, то есть A(1)=>A(2)=>A(3)=>....(из A(1) следует A(2), из A(2) следует A(3) и т д)

Таким образом если мы в любой момент установили справедливость утверждения A(n-1), то мы можем на его основе доказать спрведливость A(n). Но для того чтобы доказать справедливость A(n-1), надо доказать справедливость всех предыдущих A(n-2), A(n-3), A(n-4), ... , A(3), A(2), A(1)

В итоге для доказательства утверждения

A(n)

Для некотрого сколь угодно большого n, надо проверить это утверждение для все предыдущих номеров, поскольку справедливость последующего устанавливатеся на справедивости предыдущего но никак иначе!
Еще другими словами если мы уже доказали цепочку
A(1)=>A(2)=>...=>A(n-2), то это вовсе не означает, что справедливо A(n), поскольку напрямую из справедливости A(n-2), не выведешь справедливость A(n).

Однако здесь есть одно очень благоприятное обстоятельство: процесс вывода утверждения A(n) из A(n-1) для любого k совершенно одинаков. Что доказательство вывода A(10)=>A(11), что доказательство A(100)=>A(101) - никакой существенной разницы нет, поэтому если мы будем доказывать вывод A(n-1)=>A(n) для ПРОИЗВОЛЬНОГО n, то мы докажем справедливость для всех n одноверменно. Но ведь это нам и требовалось для полного решения задачи!!!
Вот в этом и заключается метод математической индукции!

Итак, сформулируем основные этапы доказательства утверждений по методу математической индукции

1. Проверяем соотношение A(1) справедливо, или A(1)=true.
2. Делаем индуктивное предположение: A(n-1) справедливо, A(n-1)=true.
3. Индуктивный шаг: путем различных математических приемов выводим A(n-1)=>A(n).
4. Справедливость A(n) доказана для любого n!

Решение задач методом математической индукции. Примеры


Задачи на доказательство равенств:
Пример1. Сумма первых членов арифметической прогрессии методом математической индукции
нужно доказать равентство суммы первых натуральных чисел от 1 до n:
Доказательство при n=1 равенство справедливо
Предположим, что равенство справедливо для номера n-1
Докажем его истинность для номера n
Здесь мы в квадратные скобки подставили выражение из предыдущего равентсва, затем раскрыли скобки и привели подобные, и снова разложили на множители. Получилось выражение того же вида, в котором n-1 заменено на n.
Что и требовалось доказать
Пример 2. Сумма квадратов первых натуральных чисел
Доказательство: при n=1 равенство справедливо
Предположим, истинность равенства для номера n-1
В этом равенстве мы в правую часть подставиили n-1 вместо n и привели подобные члены в скобках.
Тогда для номера n, по индуктивному предположению имеем:
Здесь в правой части мы подставили из предыдущей формулы результат суммирования для n-1 и сложили его с n^2.
Теперь в правой части раскрыли скобки и привели подобные.
И в конце концов снова результат, полученный в последнем выражении разложили на множители.
Что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать, что
Раскрываем скобки и приводим подобные:
И раскладываем на множители
Но мы раннее доказали, что
Поэтому
Таким образом сумма кубов первых натуральных чисел от 1 до n равна квадрату суммы первых степеней этих же чисел:
Докажем это утверждение по методу математической индукции.
Для n=1, получаем 1=1 и доказывать нечего, предполагаем что верно для n-1 равенство:
Прибавим к обеим частям этого равенства n^3, получим:
Тогда, поскольку сумма от 1 до n равна сумме первых n-1 и последнего слагаемого n^3 получаем:
Но мы уже знаем, что
В последнем выражении возводим квадратные скобки в квадрат, раскрываем скобки и приводим подобные члены:
Теперь снова раскладываем на множители
Но вспомним, что, что левая часть этого равенства равна
Что и требовалось доказать. Всю эту цепочку рассуждений можно расписать в две строки:
Это чтобы стало уж совсем понятно!

Примеры доказательства неравенств методом математической индукции

Пример 1. Доказать неравенство Бернулли
Все числа x1 x2 ... xn больше 1 и имеют один и тот же знак.
Решение. При n=1 неравенство очевидно. Предположим, что верно неравенство
Тогда умножим обе части этого неравенства на 1+xn
Раскрываем скобки и перегруппировываем слагаемые:
Поскольку
То
Значит
Следовательно
Что и требовалось доказать
Пример 2
Если мы положим
то получим это неравенство из неравенства Бернулли.
3. Пример доказательства неравенства
Решение задачи:
Предположим, что справедливо неравенство
 

Заказать решение

Добавить сайт в закладки
Форма заказа
внизу