Производная

Производные - это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной.

Возникает вопрос? Почему производная есть тоже функция? Дело в том, что предел функции мы можем вычислить только в точке, а значение предела есть число f'(x0).

Но если менять это число x0, то f'(x0) будет тоже функцией от x0.

Это маленький экскурс в теорию, на котором не надо зацикливаться, а сразу приступить к вычислению производных.

Как найти производную?

Вы легко научитесь находить производные, если усвоите всего три момента.

  • Необходимо знать таблицу производных основных элементарных функций.
  • Уметь видеть, как составная функция строится из основных элементарных функций.
  • Знать формулы производной составных функций – то есть производных суммы, произведения, частного и производной сложной функции (производной суперпозиции).

Запоминать таблицу производных, формул составных функций мы считаем полезно, но необязательно. Для понимания принципов вычисления производных достаточно лишь прочесть весь материал Раздела Как найти производную на сайте reshit-matematiku.ru, то есть тот раздел в котором Вы сейчас находитесь и почаще к нему возвращаться в будущем, когда Вы будете решать конкретные задачи на вычисление производных функций.

Запомните также одно простое правило: производная любой, сколь угодно сложной составной функции может быть выражена с помощью указанных выше формул через производные элементарных функций.

Итак, начнем с простейших примеров.

Первая формула из таблицы производных – это формула производной степени: (xn)'=nxn-1

Например (x3)'=3x2

Возникает вопрос? Как найти производную функции x100+6x10+100x+1. Для этого нам понадобится формула производной суммы: производная суммы двух функций равна сумме производных.

Для этого нужно всего лишь понять, что данная функция построена из рассмотренной ранее степенной функции путем сложения и умножения на число. Здесь применяется очень простое правило: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Поэтому мы здесь делаем следующие операции:

Навешиваем знак производной сначала на всю функцию, а затем, пользуясь правилом производной суммы расставляем знак производной около каждого слагаемого:

(x100+6x10+100x+1)'=(x100)'+(6x10)'+(100x)'+1'

Таким образом теперь вместо суммы нам надо суметь всего лишь продифференцировать каждое слагаемое!!! Задача сильно упростилась!!!

Далее, постоянный множитель выносим за скобки, а производная постоянной 10 равна нулю, поэтому производная последнего слагаемого равна нулю.

(x100+6x10+100x+1)'=(x100)'+(6x10)'+(100x)'+1'=(x100)'+6(x10)'+100(x)'+0

Нас можно поздравить! Мы пришли к задаче, которую уже умеем решать – к задаче производной степенной функции.

Осталось только подставить полученные выражения производных в предыдущую формулу и записать конечный результат

(x100+6x10+100x+1)'=(x100)'+6(x10)'+100(x)'+0=100x99+6·10x9+100

Правило чайника в математике

и его применение для решения производных

Здесь хотелось бы сделать отступление. В математике при решении абсолютно любых задач действует простое правило чайника. Кто знает и слышал – хорошо, а кто не знает -  знайте и запомните на всю жизнь!!! Правило чайника (как бы ни смешно оно звучало) проходит красной линией через всю математику и ее приложения. Это правило заключается в следующем:

Однажды математик спросил у физика:

- У тебя на столе стоит пустой чайник  и тебе срочно нужно попить чаю. Твои действия?

- Да, очень просто, -  заявляет физик, - я возьму чайник, налью в него воды, поставлю на плиту, зажгу огонь и подожду пока он закипит!

- Все правильно, мой дорогой друг. Ну а теперь другой вопрос: На незажженной плите стоит чайник с водой. Какими будут твои дейтсвия?

Физик возмущенно, отвечает:

- Да всего лишь я зажгу огонь и подожду пока закипит!

- Не верно! – сказал математик. – Надо взять чайник, вылить из него воду, поставить чайник на стол и мы придем к предыдущей задаче которую уже умеем решать!!!

Так и в задачах с производными сначала надо привести новую задачу на решение производной к нескольким старым задачам, которые Вы уже умеете решать, а затем подставить результаты решения этих задач в исходную формулу. Для приведения сложной задачи к более простым служат формулы производных составных функций

  • Формула производной суммы
  • Производной произведения и частного
  • Сложной функции
  • Обратной функции
  • Функции, заданной параметрически

Формулу производной суммы мы уже рассмотрели, теперь надо рассмотреть остальные формулы.

Производная произведения. Формула

Формула производной произведения читается следующим образом: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции:

u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)

Как отмечалось эта формула позволяет применить правило плиты и чайника – свести вычисление производной произведения двух функции к двум задачам, которые мы уже умеем решать: к задачам вычисления производных сомножителей, а также к сложению и умножению функций.

Примеры применения формулы производной произведения

Итак рассмотрим пример:

Найти производную функции

ex·sin(x)

Поскольку мы не обязываем Вас, дорогой посетитель, запоминать таблицу производных, чтобы не засорять свою память, ведь голова человека - не жесткий дик компьютера, мы приводим формулы из таблицы производных:

(ex)'=ex, (sin(x))'=cos(x).

Мы видим, что данная функция – составная. Она составлена из произведения двух функций, поэтому мы должны применить формулу производной произведения.

Для этого мы берем первый сомножитель и находим его производную:

(ex)'

Далее, умножаем эту производную на второй сомножитель

(ex)'·sin(x)

Берем второй сомножитель, а точнее - его производную:

(sin(x))'

Умножаем производную второго сомножителя на первый сомножитель

ex·(sin(x))'

Далее, складываем эти два полученные выражения

(ex·sin(x))'=(ex)'·sin(x)+ex·(sin(x))'

Сравните это выражение с основной формулой

u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x).

Как видим, очень похоже.

Тепрерь мы пришли, наконец, к предыдуще задаче, которую уже умеем решать. В самом деле? осталось только подставить подставить вместо (ex)' выражение ex, а вместо (sin(x))' cos(x) и провести преобразования:

(ex·sin(x))'=(ex)'·sin(x)+ex·(sin(x))'=ex·sin(x)+ex·cos(x)=ex·(sin(x)+cos(x))

Все, производная найдена, наша задача решена окончательно!

Мы надеемся что расписали пример применения формулы производной произведения максимально подробно и Вам все стало понятно. Если Вам что-то показалось неясным или Вы заметили какие-то упущения в рассуждениях, напишите Нам. Мы Обязательно Рассмотрим Ваши предложения и пожелания.

Следующий пример: найти производную функции

ex·sin(x)·ln(x)

Этот пример потребует использование следующей табличной формулы

(ln(x))'=1/x

Здесь мы имеем произведение Трех сомножителей. А написанная спасительная формула произведения работает только для двух сомножителей! Как же быть? Попробуйте найти Выход из этой ситуации самостоятельно!

Ответ на самом деле очень прост! Можно рассматривать это произведение трех сомножитей как произведение двух сомножителей, одним из которых является также произведение. 

(ex·sin(x)·ln(x))'=(ex·sin(x))'·ln(x)+(ex·sin(x))·(ln(x))'

Сравните это выражение с основной формулой

u'(x)·v'(x)=[u(x)]'·v(x)+u(x)·[v(x)]'.

Как видим, очень похоже. Не имеет значения какие писать скобки и где ставить знак штрих у самой функции или после обозначения аргумента.

Далее подставляем в предпоследнюю формулу уже известные нам производные:

(ex·sin(x)·ln(x))'=(ex·sin(x))'·ln(x)+(ex·sin(x))·(ln(x))'=(ex·(sin(x)+cos(x)))·ln(x)+(ex·sin(x))·(1/x)

И это уже получился окончательный ответ. Можно конечно, раскрыть скобки, привести подобные члены, но сильно выражение от этого не упростится и мы этого делать не будем.

Если Вам все понятно, то мы Вас должны поздравить! Вы научились применять формулу производной произведения двух и более функций!

Производная частного функций 

Формула производная частного, формула производной отношения двух функций записывается следующим образом:

[u(x)/v(x)]'=[u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)]

Ее очень легко запомнить, она очень похожа на формулу производной произведения функций. Отличия в том, что вместо плюса в первых квадратных скобках стоит минус, а во вторых квадратных скобках стоит единица, деленная на квадрат знаменателя исходной функции. И эта формула позволяет применить метод чайника к решению производных но только к тем функциям, которые построены как отношение двух более простых функций.

Итак пример

Найти производную функции

f(x)=√x

Эта функция не является отношением, но тем не менее мы еще не рассматривали как найти производную от функции, содержащей квадратные корни и иррациональности.

Как здесь поступить? Правильно! Берем чайник, ставим его на стол и придем к предыдущей задаче которую уже умеем решать. Такой задачей является задача вычиления производной степенной функции!

Воспользуемся тем, что корень квадратный равен степени одна вторая (1/2):

√x=x½

Но теперь мы уже знаем формулу:

(√x)'=(x½)'=(1/2)x½-1=(1/2)x=(1/2x½)=(1/2√x)

Итак, мы доказали формулу:

(√x)'=(1/2√x)

Здесь мы воспользовались тем, что степень с отрицательным показателем равна обратной величине степени с показателем без минуса.

А вот теперь уже рассмотрим пример на применение формулы производной частного:

Следующий пример: Найти прозводную функции

f(x)=(√x)/x2

Мы прекрасно видим, что данная функция является отношением, частным двух функций. Поэтому мы применяем формулу производной частного.

Как и ранее нужно взять производную числителя и умножить ее на производную знаменателя:

(√x)'·x2

Берем числитель и умножаем его на производную знаменателя

(√x)·(x2)'

Берем разность первого полученного выражения и второго и делим эту разность на квадрат знаменателя или умножаем на единицу деленную на квадрат знаменателя:

[(√x)'·x2-(√x)·(x2)']·[1/x2]

Сравните это выражение с выражением

[u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)]

Далее, подставляем уже известные выражения производных числителя и знаменателя и упрощаем выражение полученной производной:

[(√x)'·x2-(√x)·(x2)']·[1/(x2)2]=[(1/2√x)·x2-(√x)·2x]·[1/(x2)2]=[(1/2x½)·x2-(x½)·2x]·[1/(x2)2]=

=[½·x(2-½)-2·x2+½]·[1/x4]=[½·x3/2-2·x3/2]·[1/x4]=-[(3/2)·x3/2]·[1/x4]=-(3/2)·x-5/2

Здесь мы воспользовались тем, что корень квадратный есть степень с показателем (1/2), при умножении степеней их показатели складываются, при делении степеней – показатели вычитаются, а при возведении степени в степень показатели перемножаются. Также при делении разности на некоторый знаменатель каждый член этой разности делится на знаменатель и берется их разность.

Однако не всегда надо сразу пытаться  применять фомулы производной произведения и частного, т.е. формулы, сводящие задачу к вычислению производных основных элементарных функций. (Мы их будем в шутку называть формулами сливания воды).

Эта производная может быть вычислена и другим способом. Надо всего лишь упростить выражение исходной функции и мы придем к задаче степенной функции которую уже умеем решать.

[(√x)/x2]'=[1/x3/2]'=[x-3/2]'=-3/2·x-5/2.

Таким образом, «сливание воды» сводится к двум основным вещам:

  1. Преобразованию и упрощению исходной функции;
  2. Применению формул производных составных функций (формул сливания воды).

Следующий пример производной произведения частного

Теперь мы рассмотри вычисление производных на более сложных примерах функций и нам понадобятся следующие табличные производные:

(ex)'=ex, [ln(x)]'=1/x,  [sin(x)]'=cos(x),  [cos(x)]'=-sin(x).

Найдем производную функции

f(x)=[ex·cos(x)]/[ln(x)·sin(x)]

В данном случае мы имеем частное двух произведений или произведение двух отношений (последнее нужно еще суметь заметить!). Собственно в данном случае упрощать эту функцию дальше некуда.

Здесь нужно использовать как формулу производной частного так и формулу производной произведения, а затем во вторую подставить результат применения первой. Да, это уже сложнее чем раньше, но пугаться не стоит, как говорится глаза боятся, а руки делают. На самом деле ничего сложного нет.

Итак, мы имеем

f'(x)={[ex/ln(x)]·[cos(x)/sin(x)]}'=[a(x)·b(x)]'

где

a(x)=ex/ln(x),  b(x)=cos(x)/sin(x)

Производная первого сомножителя:

a'(x)=(ex/ln(x))'=[(ex)'·ln(x)-ex·ln'(x)]·[1/ln2(x)]=

=[ex·ln(x)-ex·(1/x)]·[1/ln2(x)]=

=ex·[x·ln(x)-1]·[1/x·ln2(x)]

Производная второго сомножителя:

b'(x)=[cos'(x)·sin(x)-cos(x)·sin'(x)]·[1/sin2(x)]=

=[-sin(x)·sin(x)-cos(x)·cos(x)]·[1/sin2(x)]=

=[-sin2(x)-cos2(x)]·[1/sin2(x)]=

=-1/sin2(x)

Теперь подставляем эти производные в формулу производной произведения

a(x)=ex/ln(x),  b(x)=cos(x)/sin(x)

f'(x)=[a(x)·b(x)]'={ex/ln(x)}'·{cos(x)/sin(x)}+{ex/ln(x)}·{cos(x)/sin(x)}'=

=ex·[x·ln(x)-1]·[1/x·ln2(x)]·{cos(x)/sin(x)}+{ex/ln(x)}·{-1/sin2(x)}

Это и есть одна из записей производной, то есть ответ найден.

Здесь тоже можно и дальше преобразовать, но мы не будем этого делать, посколку форма записи   производной не имеет принципиального значения, а после пребразований полученное выражение не станет на много проще записанного.

Вот так, научившись более простому мы научились и более сложному.

Если вам что-то не понятно, обязательно еще раз внимательно перечитайте данную статью с самого начала, а еще статью посвященную производной произведения, и вычислению производных.

Производная сложной функции

Рассмотрим, наконец, взятие производной сложной функцииФормула производной сложной функции, производная суперпозиции функций строится следующим образом.

Чтобы разобратся в операции взятия производной сложной функции надо понять что же, собственно, такое сложная функция? Разве те функции которые мы рассматривали ранее на сайте решить математику ру не являлись сложными? Да, они являлись сложными, в том смысле, что они были составными функциями, то есть представляли собой сумму, произведение и частное нескольких основных элементарных функций, но они не были функциями в которых вместо независимой переменной, аргумента находится другая функция.

В математическом анализе под сложной функцией понимают именно такую функцию – функцию, под знаком которой стоит другая функция, например

sin(ln(x)), ln(sin(x)).

Сложная функция (суперпозиция функций, наложение функций) – это функция от функции.

Но как же понять, в каждом конкретном случае, что данная функция зависит от другой функции? Да очень просто! Нужно рассмотреть всего лишь несколько примеров!

Мы должны помнить из школьного курса математики, что x в выражении f(x) называется независимой переменной или аргументом функции, а y в формуле y=f(x) – зависимой переменной или значением функции.  Вот здесь то и начинается самое интересное. А что если  в функции  f(x) переменная x сама является функцией некоторой переменной t, то есть x=g(t), тогда мы вместо x можем подставить g(t) и получить функцию h(t)=f(g(t)).

Вот эта-то функция h(t) и называется сложной функцией, или, точнее, наложением функций f и g.

Теперь сразу возникает наболевший вопрос: а как же вычислить производную сложной функции?

Производная сложной функции может быть найдена по формуле:

h'(t)=f'x(x)·g't(t) или h'(t)=f'x(g(t))·g't(t).

Индексы х  и t функций f'x(x) и  g't(t) означают, что производная функции f берется по х, а производная функции

Функцию f(x) мы назовем внешней, а функцию g(t) назовем внутренней. Таким образом правило взятия производной сложной функции звучит так:

произвоная сложной функций равна произведению производной внешней функции по зависимой переменной и производной внутренней функции по независимой переменной.

Вот и все, что нужно понимать о формуле производной сложной функции. Теперь, для закрепления материала рассмотрим примеры.

Вычислить производную сложной функции:

h(t)=sin(t2)

Внешней функцией здесь является функция:

f(x)=sin(x),

а внутренней:

g(t)=t2.

Поэтому, применяя формулу производной сложной функции, получим следующий результат:

h'(t)=[sin(x)]'x ·(t2)'t

Сравните эту формулу с формулой

h'(t)=f'x(x)·g't(t)

Далее, берем отдельно производную синуса и степенной функции и перемножаем их:

h'(t)=[sin(x)]'x ·(t2)'t=cos(x)•(2t).

Что? Все? Производная найдена? Не совсем! Надо еще вместо x подставить выражение внутренней функции x(t)=t2.

h'(t)=[sin(x)]'x ·(t2)'t=cos(x)•(2t)=cos(t2)•(2t).

Вот это уже окночательный ответ!

 

Пример 2.
Пример 3
Найти производную сложной функции
Здесь имеет место произведение двух сложных функций. Первый сомножитель является сложной функцией четвертого порядка, а именно
Второй сомножитель является сложной функцией второго порядка
Таким образом, заданная функция представляет собой комбинацию шести элементарных функций, следовательно, наша составная функция разложена на элементарные функции, производные которых мы умеем находить. Как видим, анекдот о сливании воды снова подтвердился. Теперь осталось четыре раза применить формулу производной сложной функции и один раз формулу производной произведения
Итак, применяем сначала формулу производной произведения
Теперь нам нужно найти две производных
Но эти производные мы уже умеем находить по формуле производной сложной функции, в самом деле
Окончательно
Запишем сразу:
поскольку аналогичную производную мы уже вычисляли (см. Выше). Таким образом:
Окончательно
Производная обратной функции
Начнем рассмотрение вопроса «Производная обратной функции» с определения понятия что такое обратная функция? Интуитивно из школьного курса математики мы понимаем, что обратная функция это функция, которая получается путем применения обратной операции к независимой переменной. Например, обратная операция к возведению в степень является извлечение корня, обратная операция к взятию синуса является арксинус, обратной функцией к показательной является логарифм.
То есть, чтобы вычислить обратную функцию надо всего лишь найти обратную операцию по отношению к операции этой функции. Но теперь попробуйте записать обратную операцию для следующей функции
X=y+sin(y)
Вы не найдете обратной операции. Как же тогда в этом случае определить обратную функцию и как ее найти? Ответ на вопрос как найти обратную функцю для функции и ее производную, то есть найти ее явное представление через основные элементарные функции очень сложен и мы его рассматривать полностью не будем. Однако мы заметим, что указанная обратная функция вообще не может быть представлена в виде комбинации конечного числа элементарных функций, но только конечного числа! Такие функции, то есть функции, которые нельзя составить из конечного набора основных элементарных функций, как это мы сделали для функции в предыдущем параграфе, называются неэлементарными или специальными функциями и представляются в явном виде рядами, бесконечными произведениями, интегралами от элементарных функций. Например, если функцию Sin(X) представить в виде степенного ряда и по правилам вычисления рядов обратных функций обратить ряд функции y+Sin(y), то мы найдем разложение в ряд для обратной функции. Мы отвлеклись от основного вопроса: что же такое обратная функция и как ее определить? Функция G(Y) Называется обратной для функции F(X), если для каждого Y из области значений функции F(X) функция G(Y) ставит в соответствие значение X такое, что Y=F(X). Например, если Y=Sin(X), То обратная функция X=Arcsin(Y) Ставит в соответствие Y такое X, что Y=Sin(X). Таким образом, мы выяснили, что не для всех элементарных функций можно выяснить обратную функцию и записать ее в виде комбинации конечного числа основных элементарных функций. Другими словами, прямая функция F(X) X переводит в Y, а обратная функция у переводит в х, но не в любой х, а в тот, который прямая функция перевела в у. Если функция F Переводит х в у, то обратная функция переводит тот же самый у в х, который был переведен в у. Обратная F обозначается через
Таким образом, если Y=F(X), То X=F-1(Y). Теперь надеемся, вам ясно, что такое обратная функция. Но вот производная обратной фукнции к элементарной функции может быть вычислена всегда.

Формула производной обратной функции

Правила вычисления производной обратной функции читается просто: производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Таким образом, если Y=F(X), То X=G(Y) И G'(Y)=1/F'(X)=1/F'X(G(Y)). Таким образом, чтобы найти производную обратной функции к функции F(X), Надо найти производную F(X), взять ее обратную величину, а вместо X Подставить его выражение через у, если его вообще можно найти. Теперь перейдем к долгожданным примерам, чтобы полностью прояснить вопрос, как работатет формула производной обратной функции.

Найдем производную функции X=Arcsin(Y), зная, что Y'=(Sin(X))'=Cos(X).

Решение. Согласно формуле производной обратной функции
Таким образом
Пример 2 Найти производную функции y(x) если
Формула производной обратной функции дает нам возможность дифференцировать уравнения, например, если x(y)=y-sin(y) то мы можем найти производную функции Y'(X), не зная явного выражения Y(X). Этот факт называется вычислением производной функции, заданной неявно. Действительно, дифференцируем левую и правую части этого уравнения по X, тогда получим:
Мы получили то же самое, что и в предыдущем приемере
Производная неявной функции

В предыдущем примере мы продифференцировали уравнение, в котором переменная х входила только в правую часть и в первой степени, однако производная сложной функции и производная обратной функции дают возможность дифференцировать общее уравнение.
Это уравнение можно рассматривать как функциюY(X), так и как функцию X(Y). В обоих случаях оно определяет некоторую связь, зависимость между переменными х и у, причем для каждого х может найтись несколько значений у и для каждого у может оказаться несколько значений х, удовлетворяющих этому уравнению. Уравнение определяет кривую на плоскости. Рассмотрим, например, уравнение
Надо найти производные
и
Дифференцируем обе части уравнения по х:
Группируем слагаемые и выносим общий множитель за скобки:
Выражаем производную:
Можно выразить у через х из уравнения и подставить правую часть полученного равенства, однако в результате получается крайне громоздкое выражение производной функции, заданной неявно, что делает неудобным, поэтому лучше оставить результат вычисления производной таким, какой он есть. Теперь найдем производную неявно заданной функции х(у). Эта производная может быть также найдена из уравнения путем дифференцирования по у:
Группируем слагаемые и выносим общий множитель за скобки:
Выражаем производную:
Как видим:
Таким образом, мы можем проверить сейчас, что произведение производных двух взаимно обратных функций дает единицу при любых значениях независимых переменных. Как видим, действительно, что числитель и знаменатель этих двух дробей сокращаются, то есть это и есть две взаимно обратные дроби, что и требовалось доказать.

Итак, мы научились применять формулы производной суммы, разности, произведения и частного двух функций, а также производную сложной, обратной и неявной функции и поняли, что операция взятия производной является очень простой по структуре и ей может овладеть каждый, кто всерьез займется этим и будет упорно тренироваться.

Поэтому если у Вас нет достаточно умений, или Вы совсем плохо умеете вычислять производные, обязательно прочтите все пункты раздела «как найти производную» на сайте «решить математику. ру»., а также возвращайтесь на этот сайт вновь и еще раз прорешивайте все рассмотренные примеры, стараясь не упустить Ключевые идейные моменты, изложенные на сайте.

Помните, что овладев один раз основной ключевой идеей решения ряда математических задач, Вы сможете решить абсолютно все задачи, которые используют эту идею в основе своего решения. В данном разделе вы познакомились с идеей взятия производных. Вам надо с этой идеей не просто познакомиться, а усвоить ее до мозга костей, а для чего надо не просто прочитать как найти производные на данном сайте, а начать пробовать по аналогии решать примеры самостоятельно!

Для этого Вам необходимо сделать следующее: после ознакомления с разделом по вычислению производных на данном сайте Вам нужно взять свою контрольную, которую вам задали в университете, или просто задачник по математике и найти там пример похожий на тот, который разбирался на данном сайте и решить его самостоятельно, строго следуя изложенным рекомендациям. После самостоятельного решения примера по каждой формуле, каждому правилу взятия производных, Вы уже будете владеть аппаратом взятия производных и будете готовы к экзамену по математике по разделу вычисление производной функции.

Если вы затрудняетесь в нахождении похожего примера в сборнике задач (ведь их там очень много), напишите, нам через форму обратной связи, мы всегда быстро ответим на Ваш запрос, поможем Вам в подборе примеров для самостоятельного решения, а также как можно подробнее прорешаем данные примеры и в онлайн режиме объясним каждый шаг их решения.

Почаще заходите на сайт Решить математику. ру и вы обаятельно и очень легко научитесь решать все математические задачи.

Чтобы в будущем найти наш сайт добавьте его в закладки браузера, а также можно просто набрать запрос Решить математику. ру в поисковой системе Яндекс и Вы непременно найдете наш сайт с большим количеством полезной и очень легкой, понятной, доступной информации по решению математических задач.

 

 

Заказать решение

Добавить сайт в закладки
Форма заказа
внизу