Неопределенный интеграл. Решение интегралов, примеры

Как всегда при изучении какого-либо раздела начнем с определения Неопределенный интеграл функции f(x) - это такая функция, или, точнее, множество таких функций, производная которых, равна данной функции F(x). В формулах это будет так:
Функция F(x), производная которой равна f(x) называется первообразной функции f(x), а все множество первообразных функций F(x)+С - неопределенным интегралом от функции f(x).
Что же нам потребуется для того чтобы научиться хорошо решать любые неопределенные интегралы. Во первых нужна таблица интегралов, которую мы сейчас и приведем. Таблица интегралов строится на основе таблицы производных, другими словами таблица интегралов это перевернутая задом на перед таблица производных, например если производная от синуса равна косинусу, то синус будет интегралом от косинуса. Таким образом, любая функция является интегралом своей производной
Отсюда следует легкий способ проверки результата интегрирования, чтобы проверить правильность решения неопределенного интеграла надо продифференцировать результат и сравнить производную с подынтегральной функцией. А теперь приведем-таки, наконец, табличные интегралы: Прежде всего конечно

Неопределенный интеграл степенной функции

Неопределенный интеграл експоненты показательной функции

А вот неопределенный интеграл логарифма не является табличным интегралом, вместо него табличной является формула:

Неопределенные интегралы тригонометрических функций: Интегралы синуса косинуса и тангенса

Неопределенные интегралы с обратными тригонометрическими функциями

Вот собственно и вся таблица основных интегралов, которые можно запомнить и рекомендуется запомнить. Но зубрить эти формулы мы Вам крайне НЕ рекомендуем! Табличные интегралы, также как и правила дифференцирования должны запомниться у Вас во время практики вычисления интегралов вследствие частого обращения к ним. Таким образом, чтобы запомнить таблицу интегралов нужно (мы рекомендуем!) выписать эти интегралы ручкой на отдельный картонный лист и всегда держаь его перед глазами во время решения примеров на вычисление неопределенных интегралов. Чем больше интегралов Вы решите, чем чаще вы посмотрите в таблицу и тем надежнее ее выучите, причем автоматически, а не зубрежкой!!! Кроме того, при большом количестве решенных примеров вы набиваете руку и развиваете свою математическую культуру. Мы Вам даем один совет: РЕШИТЕ КАК МОЖНО БОЛЬШЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ САМОСТОЯТЕЛЬНО, а мы Вам в этом поможем. Вы попали на нужный сайт, где Вам дадут наиболее эффективные советы по решению неопределенных интегралов

Существует мнение, что нельзя научиться решать интералы, если вы не умеете, или запустили материал по вычислению производных. Да, действительно, чтобы уметь вычислять интегралы, желательно, хорошо разбираться в дифференцировании. Однако если Вы запустили производные, это еще не значит, что все безнадежно, можно и в интегралах начать с нуля, лишь бы было желание и упорство. Говорят, что решение интегралов гораздо сложнее, чем решение производных. Действительно, кому-то и может так показаться, но на наш взгляд сложности никакой нет! Здесь то мы и подошли к тому моменту, когда мы раскроем Вам совершенно бесплатно один секрет, зная который, вам не страшен ни один интерал!!!

Все на самом деле очень просто: чтобы решить любой неопределенный интеграл, надо
  • взять этот интеграл и таблицу интегралов, и посмотреть на какой из приведенных в таблице данный в примере интеграл больше всего похож.
  • Затем, выбрав наиболее похожий интеграл из таблицы, надо представить или выразить (любым способом) данный интеграл через табличный.

  • Таких способов существует несколько, основными из которых, является метод замены переменной и метод интегирования по частям, которые мы частично затронем в данном уроке! Также существуют отдельные способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей, для интегралов от иррациональных выражений, интегралов от тригонометических функций.

    Вообще весьма часто так случается, что данный интеграл не похож ни на один из табличных интегралов. Но это не значит, что нужно сдаваться и складывать руки крестиком. Наш совет заключается в том, что надо найти любой способ приведения интеграла к табличному или группе табличных, а затем просто воспользоваться таблицей интегралов. А способы приведения интегралов к табличным мы Вам перечислили:
  • метод замены переменной;
  • метод интегирования по частям;
  • способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей;
  • методы представления неопределенных интегралов через табличные интегралы для интегралов от иррациональных выражений;
  • способы выражения неопределенных интегралов через табличные для интегралов от тригонометрических функций.

  • Вот и все хитрости, а дальше дело практики, практики и еще раз ее величества, матушки практики. А с Практикой мы Вам поможем! Помните в математике нет королевского пути! Чтобы научиться решать интегралы надо их решать! Так что, уважаемые господа студенты, которые любят на халяву заказать решение интегралов в интернете, заказывайте, но обязательно разберитесь в том, что Вам решили на заказ. Еще раз самостоятельно прорешайте, прежде чем идти к преподавателю сдавать зачет или экзамен. Помните без решения элементарных интегралов ни один преподаваетель не допустит Вас к сессии, не зависимо от размера предложенного гонорара. Да и в жизни пригодится, хоть и не в реальной работе, но, тем не менее, развитие логического мышления и строгой последвательности выполнения операций не будет лишним ни в одной сфере деятельности!
    Теперь перейдем непосредственно к примерам:
    Пример 1. Решить неопределенный интеграл
    Решение. Прежде всего обратимся к таблице интегралов, которую, мы надеемся вы уже выписали жирным фломастером на красивый лист из цветного твердого картона. Найдем в таблице интеграл, на который больше всего похож данный интеграл. Мы пользуемся своим же СОВЕТОМ, на котором мы так страстно настаивали выше в данной статье. Это вот какой интеграл.
    Теперь надо одним из способов выразить данный интеграл через подобранный табличный. Как это конкретно сделать? А вот как: воспользуемся свойством дифференциала функции. Дифференциал постоянной равен нулю, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов, следовательно
    Теперь можно сделать замену переменной или подстановку
    Вот мы и пришли к табличному интегралу, только с переменной игрек. Теперь уже никакой сложности нет
    Вот и все решение.
    Пример 2. Вычислить неопределенный интеграл
    Здесь мы видим, что ни на один из табличных интегралов данный пример не похож... Вроде бы, зазалось бы... Что же делать? Как же быть? Да очень легко и просто!!! Надо как-то преобразовать подынтегральую функцию, чтобы она стала похожа на табличную. Мы прекрасно видим, в знаменателе стоит квадрат двучлена
    Вот теперь мы можем определить табличный интеграл, на который похож данный интеграл. Вот он
    Пример 3. Вычислить интеграл
    Здесь мы поступим точно также, как и в предыдущем примере - выделим полный квадрат знаменателя
    Пример 4. Решить неопределенный интеграл
    Решение. В данном примере табличный интеграл, к которому приводится данный интеграл, другой:
    но методика приведения такая же как и в предыдущем примере: мы снова должны будем выделить полный квадрат знаменателя
    Пример 5. На основе примера 4 решим следующий неопределенный интеграл
    Решение. Мы знаем, что
    Пример 6. На основе примеров 4 и 5 решить следующий интеграл
    Решение. Представим данный интеграл в виде суммы интегралов, предсталенных в примерах 4 и 5. Воспользуемся тем, что постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, а интеграл от суммы или разности равен сумме или разности интегралов:

    Интеграл Логарифма

    В начале, когда мы приводили таблицу неопределенных интегралов, в ней по необъяснимым причинам отсутствовал интеграл логарифма, а также в ней нет интеграла арксинуса, арктангенса и других обратных тригонометрических функций. Это на первый взгляд очень возмутительно. Как говорится, кипит наш разум возмущенный, на смертный бой идти готов! Интегралы почти от всех основных простейших функций в таблице есть а интегралов от обратных им функций нет!! Как же так? Но можем заметить, что есть в таблице интеграл производной логарифма и есть все интегралы производных от основных простейших элементарных функций. Это объясняеся тем, что таблица интегралов строится на основе таблицы производных, следовательно поскольку производные функций известны, то известными сразу становятся и интегралы от этих производных, и соответсятвенно попадают в таблицу. Таким образом, чтобы найти решение интеграла логарифма, у нас возникает задача: вычислить неопределенный интеграл логарифма, зная производную логарифма, или точнее интеграл от производной логарифма: то есть зная, что
    Решение. Делается это так. Берется подынтегралное выражение и умножается на переменную под знаком дифференциала, то есть на икс:
    Затем от полученного произведения вычитают интеграл у которого подынтегральное выражение (логарифм в данном случае) записано после дифференциала, а то что было под знаком дифференциала, записывается перед знаком d, точнее становится подынтегральным выражением:
    А интеграл логарифма равен разности этих двух выражений
    Теперь начиниется самое интересное: логарифм у нас оказался под знаком дифференциала, а его величество дифференциал логарифма, как мы хорошо помним из курса дифференциального исчисления, равен произведению производной логарифма, на дифференциал независимой переменной, то есть икс, а именно:
    Вот и получается интересная вещь: чтобы решить интеграл логарифма, надо знать всего лишь производную логарифма, вот поэтому логарифм отсутствует в левой части табличной интегральной формулы.
    Окончательно:
    Вы можете вызубрить эту формулу, но мы на этом не настаиваем! Она запоминается не сама, а легче запоминается ход ее доказательства. Кроме того, можете записать ее в качестве второстепенной формулы на ваш лист цветного картона, на который вы записали основные табличные формулы. Но фломастер возьмите менее яркий, чтобы подчеркнуть, что эта формула имеет меньший приоритет для запоминания, чем остальные.

    Неопределенный интеграл арктангенса

    Прежде чем перейти к решению интеграла арктангенса, приведем интеграл от произведения независимой переменной икс на производную арктангеса :
    Но точно также как и в предыдущем примере интеграл арктангенса равен разности произведения арктангенса на икс минус интеграл произведения икс и производной арктангенса, то есть мы, естественно, применяем формулу интегрирования по частям:

    Интеграл арксинуса

    Приведем без докозательства формулу интеграла арксинуса, поскольку оно полностью аналогично решению примеров с логарифмом и арктангенсом и мы предоставляем это сделать Вам самим, поскольку если вы прочитали данный материал с самого верха до этого момента, то у вас уже достаточно знаний для самостоятельного взятия интеграла арксинуса:
    Если Вы сможете самостоятельно, никуда не подглядывая кроме данной статьи и таблицы интегралов, доказать формулу интеграла от арксинуса и вы студент-заочник, то четверка на экзамене Вам безусловно обеспечена.
     

    Заказать решение

    Добавить сайт в закладки
    Форма заказа
    внизу