Треугольник. Площадь треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, образованная тремя непараллельными прямыми и не пересекающимися в одной точке. Точнее, треугольник - это замкнутая ломаная линия, состоящая из трех звеньев. Звенья ломаной линии называются сторонами треугольника, точки соединения сторон называются вершинами треугольника.

Площадь треугольника, как и любой другой геометрической фигуры, определяется путем сопоставления части плоскости, охватываемой треугольником и некоторой эталонной площади - квадрата со стороной единица или кратного, а также долевого его значения.
 
Что такое площадь треугольника? Ответ:
Треугольник, как и каждое геометрическое место точек, занимает часть плоскости, и это свойство треугольника - занимать часть плоскости, которая может быть сопоставлена с другой единичной частью плоскости и выражена долевым или кратным ее значением, - и называется площадью треугольника.

Как найти площадь треугольника? Существуют различные методы решения задачи по отысканию площади треугольника. Основная формула площади треугольника звучит следующим образом: площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Как правило, одну из сторон треугольника рисуют горизонтально снизу, поэтому ее называют основанием треугольника, две другие стороны называют боковыми сторонами.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две боковые стороны равны между собой. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а также высота, проведенная к основанию является медианой и биссектрисой.
 
Что такое высота треугольника?
Кстати высотой треугольника называется отрезок прямой, соединяющий его вершину с противолежащей стороной, и перпендикулярный к этой стороне.

Что такое биссектриса и медиана?
Биссектриса - это отрезок прямой, делящей угол пополам. Медиана - отрезок прямой, проведенный к противоположной стороне, делящей эту сторону пополам.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один из углов равен 90 градусов. Теорема Пифагора: для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы квадрат его стороны был равен сумме квадратов двух других сторон. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Школьная формулировка теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Это следует, например, из того, что если вокруг треугольника описать окружность, то мы получим три вписанных в окружность угла, которые опираются на дуги, сумма этих дуг представляет собой всю окружность в 360 градусов. Но вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги, поэтому сумма трех вписанных углов равна 360/2=180 градусов.

Частным случаем прямоугольного треугольника является прямоугольный равнобедренный треугольник, углы при основании которого равны между собой и в сумме составляют 90 градусов, следовательно, каждый из них равен 45. Кроме того, поскольку катеты равны между собой, то согласно теореме пифагора гипотенуза связана с катетом формулой:
То есть, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине и острыми при основании, в корень из двух больше длины катета.
Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны.

Правильный треугольник - это треугольник у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.

Если треугольник является равносторонним, то он одновременно является и правильным, и наоборот если треугольник имеет все углы равные между собой, то такой треугольник является и равносторонним, то есть правильным. Докажем эти утверждения.
Действительно, если треугольник равносторонний, то любую сторону с равным успехом можно принять за основание треугольника, причем углы при этом основании будут равны между собой. Это означает, что любые два угла равностороннего треугольника равны между собой. Но если первый угол равен второму, а второй равен третьему, то первый угол равен третьему, таким образом, все углы равны между собой, что и требовалось доказать.
Если в треугольнике все углы равны, то данный треугольник равнобедренный по любому основанию, следовательно, все стороны равны попарно, а следовательно и равны между собой. Что и требовалось доказать.

Два треугольника на плоскости называются равными, если все стороны и углы одного равны сторонам и углам другого треугольника.

В основе всех доказательств и теорем о треугольниках а также вычисления площадей треугольника, лежат признаки равенства треугольников:

  • Если две стороны и угол между ними одного треугольника, равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны,
  • Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Далее мы рассмотрим различные способы решения площади треугольника, а также смежных задач, непосредственно связанных с площадью треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника. Формула

Простейшим случаем для вычисления площади, является прямоугольный треугольник. Но прежде чем определять его площадь, сформулируем понятие аддитивности площади.

Пусть мы имеем две геометрические фигуры, которые могут иметь и не иметь общих точек. Если данные фигуры пересекаются только лишь по своей границе и не имеют внутренних общих точек, то площадь двух данных фигур равна сумме площадей данных фигур в отдельности.

Теперь мы обладаем орудием для определения площади прямоугольного треугольника. Мы можем взять наш прямоугольный треугольник и построить еще один прямоугольный треугольник, в точности равный данному. Совместим полученные два треугольника по их гипотенузе, тогда мы получим прямоугольник, диагональ которого совпадает с гипотенузами совмещенных треугольников. Причем совмещенными будут только точки гипотенузы, но внутренние точки двух треугольников останутся по разные стороны от нее. Следовательно площадь полученного прямоугольника равна сумме площадей треугольников 1 и 2.
Но поскольку площади данных треугольников равны между собой, то прямоугольник имеет вдвое большую площадь, чем данный прямоугольный треугольник. И наоборот площадь треугольника равна половине площади прямоугольника. Однако площадь прямоугольника гораздо проще найти. Мы привыкли с детства, что площадь прямоугольника равна произведению смежных его сторон:
Следовательно как мы сказали:
Однако учитывая теорему Пифагора, площадь прямоугольного треугольника можно рассчитать и по другой формуле:
Из этого следует, что площадь прямоугольного треугольника вчетверо меньше разности площадей двух квадратов: один квадрат имеет сторону равную сумме катетов, а другой - сторону равную гипотенузе.
Из всего сказанного мы можем сделать вывод, что площадь прямоугольного треугольника вычисляется на основе понятия об аддитивности площадей фигур, не имеющих общих внутренних точек.

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник, представляет собой сумму двух прямоугольных треугольников. Точнее говоря высота проведенная к основанию равнобедренного треугольника делит его на два равных, непересекающихся внутренними точками, прямоугольных треугольника.
Площадь каждого прямоугольного треугольника, из которых состоит данный равнобедренный треугольник равна половине произведения катетов
Тогда формула площади равнобедренного треугольника определяется как произведение высоты на половину основания:
Обозначим величину основания равнобедренного треугольника как b1, тогда
Следовательно,

Площадь равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны которого равны с, применяя теорему Пифагора можно найти:
Таким образом, в равностороннем треугольнике высота равна произведению корня из трех, деленного на два, на длину стороны треугольника.
Поэтому площадь равностороннего треугольника полностью определяется длиной его стороны одной четвертой корня из трех, умноженного на с квадрат:
Можно еще и так сформулировать: площадь правильного треугольника пропорциональна квадрату его стороны.

Тригонометрическая формула решения задачи по вычислению площади треугольника

Как мы выше сказали, алгоритм вычисления площади S произвольного треугольника заключается в следующем:
  • проводим высоту треугольника к его основанию;
  • высота разбивает данный треугольник на два прямоугольных треугольника;
  • площадь прямоугольного треугольника мы уже вычислять умеем: она равна произведению основания на высоту;
  • площадь S равна сумме площадей исходных треугольников определяется по формуле:
Однако существует и множество других формул для площади данной простейшей геометрической фигуры, например формула: одна вторая произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними. Доказательство данной формулы. Мы знаем, что
Тем не менее, по определению синуса,
Подставляем полученное выражение высоты треугольника в формулу:
Аналогично

Теорема синусов

Приравнивая три полученных выражения для площади треугольника, получаем теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
сокращаем первое и второе равенство отдельно:
преобразуем пропорции:
и окончательно
Это и есть теорема синусов!

Теорема косинусов

Квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом произведения этих сторон на косинус угла между ними. Данная теорема является обобщением теоремы Пифагора. Действительно,
Если треугольник прямоугольный, то
Следовательно,

Решение треугольников. Примеры.

Решить треугольник означает найти все его стороны и углы, а также найти его площадь.
Решение треугольников возможно в следующих трех случаях:
  • Известны две стороны и угол между ними. В этом случае площадь мы уже умеем находить. Третья сторона вычисляется по теореме косинусов. Два остальных угла из формулы площади, в которой площадь уже известна, известны стороны, но неизвестен угол, между этими сторонами.
  • Известна сторона треугольника и два угла. В этом случае третий угол сразу можно найти из равенства суммы углов 180 градусам. После чего по теореме синусов мы сразу можем найти две другие стороны, а площадь по уже знакомой формуле.
  • Известны три стороны. Тогда по теореме косинусов можно найти один из углов, остальные углы можно найти по теореме синусов или по теореме косинусов на выбор.
  • Пример 1.
    Сторона треугольника равна 20, вторая 15, угол между сторонами 30 градусов. Решить данный треугольник.
    Решение. Площадь равна
    Третью сторону мы обозначим буквой а и найдем ее по теореме косинусов
    Далее мы имеем
    Тогда
    Третий угол находится из суммы углов треугольника 180 градусов.
    Таким образом, все стороны, углы и площадь найдены. Задача полностью решена.
    Пример 2.
    Сторона треугольника равна 20, угол, прилежащей к стороне 30 градусов, второй прилежащий угол - 45 градусов. Решить треугольник.
    Решение. Третий угол найдем по теореме о сумме углов.
    Данный треугольник тупоугольный. По теореме синусов
    Площадь равна

    Доказательство теоремы Герона. Подробный вывод формулы Герона

    Формула Герона позволяет ответить на вопрос как найти площадь треугольника, зная лишь длины трех его сторон, но не зная величины углов. Сейчас мы приведем подробный вывод формулы Герона, который отсутствует (на момент наисания данного урока) или его очень сложно найти в свободном доступе в сети интернет. Начинается вывод с уже хорошо нам знакомой формулы площади через синус угла.
    Однако, поскольку угол нам не известен найдем его по теореме косинусов, тогда в нашей формуле мы избавимся от углов и выразим площадь через одни лишь длины сторон.
    Внесем произведение bc под знак квадратного корня, тогда избавимся от знаменателя.
    Мы видим, что под знаком квадратного корня стоит разность квадратов некоторых
    выражений. По формуле сокращенного умножения, разность квадратов равна произведению суммы данных выражений на их разность.
    Таким образом подкоренное выражение упрощается и раскладывается на множители. Рассмотрим первый из полученных множителей. Перегруппируем слагаемые и применим формулу сокращенного умножения, которая называется квадрат разности (равен квадрату
    первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число, плюс квадрат второго:
    Но теперь, снова мы применяем формулу сокращенного умножения:
    Аналогично, для второго сомножителя подкоренного выражения получаем:
    далее записываем окончательное разложение на множители подкоренного выражения
    Теперь мы введем понятие полупериода треугольника:
    Тогда
    Таким образом, мы имеем
    Когда мы внесем одну четвертую под знак корня как раз получится одна шестнадцатая, то есть произведение четырех двоек в знаменателе, что нам и нужно:
    Окончательно, формула Герона с учетом введенных обозначений записывается следующим образом
    где как уже отмечалось
    Попутно мы получили еще один алгоритм решения треугольников по трем сторонам с помощью формулы Герона. Алгоритм очень простой:
    вычисляем площадь треугольника по формуле Герона;
    определяем все углы треугольника на основе рассчитанной площади по формуле угол равен отношению площади к половине произведения прилежащих к данному углу сторон:
    Таким образом, на основе двух формул площади можно решить треугольник по трем сторонам.

    Доказательство теоремы синусов

    Мы видели, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, что следует из формулы площади через синус. Однако это еще не вся теорема синусов. Вторая ее часть заключается в том, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру или удвоенному радиусу описанной окружности
    Доказательство. Пусть мы имеем треугольник АВС и описанную около него окружность, которая обозначена красным цветом, Построим дополнительный треугольник, обладающий следующими свойствами:
    одна из его сторон совпадает со стороной исходного треугольника, например со стороной АВ. Можем мы это сделать? Конечно можем, просто выберем сторону АВ в качестве стороны другого треугольника. Один и тот же отрезок может вполне быть стороной двух разных треугольников.
    В качестве второй стороны треугольника АВД мы выберем диаметр окружности, проходящий через точку А
    Тогда третьей стороной вспомогательного треугольника будет отрезок BD.
    Полученный треугольник прямоугольный с прямым углом АВD, поскольку он опирается на диаметр окружности.

    Теперь мы видим, что углы С и D равны, поскольку опираются на одну и ту же хорду BD. Но по определению синус угла D равен отношению противолежащего катета AB к гипотенузе, равной 2R. Тому же самому равен и синус угла C. Таким образом:
    Что и требовалось доказать!

    Формула площади по стороне и двум прилежащим углам.

    Мы видели, ранее что площадь произвольного треугольника вычисляется по:
    двум сторонам и углу между ними,
    по трем сторонам,
    данная же формула выглядит следующим образом:
    S
     

    Заказать решение

    Добавить сайт в закладки
    Форма заказа
    внизу